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Enseigner à travers la résolution de problèmes


 

 

 

 

 

  Trois papillons

  par Rafael Araujo


Membres

Jérôme Audéoud
Tatiana Beliaeva
Cathy Burck
Charlotte Derouet
Danièle Fricker
Emmanuel Laag
Anne Schultz
Marion Senjean
Aline Willm

Introduction

Des situations-problèmes déjà vues dans les livres, oui, mais pas comme ça !


Dans le langage courant on dit «  faire des mathématiques » et non «  apprendre les mathématiques ».

C’est en étant actif dans une situation qui mène à la construction d’un concept qu’on construit celui-ci et qu’on se l’approprie progressivement.

Dans cet esprit, et pour respecter l’horaire national imparti aux mathématiques,  nous avons pensé organiser les notions et les savoir-faire prévus par les programmes autour de problèmes bien choisis.

Ces problèmes doivent

  • avoir une entrée facile
  • permettre de développer la prise d’initiative
  • susciter un raisonnement
  • mais aussi permettre de gérer l’hétérogénéité de la classe.

Trouver des problèmes à la portée des élèves, qui peuvent piquer leur curiosité pour leur donner le goût de la recherche et les faire avancer dans leurs apprentissages, telle est notre ambition.

Cependant, pour l’enseignant, s’attaquer à de tels problèmes nécessite une préparation particulière et demande d’adopter une nouvelle posture propice à ce genre de travail en classe.

Le travail que nous exposons a pour but d’aider l’enseignant à entrer dans une telle démarche, de le préparer aux questions et difficultés des élèves et lui permettre d’insérer ces problèmes dans sa progression.

Comme il est d’usage, pour chaque problème sont précisés le niveau concerné et les prérequis, les objectifs visés et les notions abordées ou travaillées. L’apport de notre groupe est d’accompagner chaque problème  de scénarii détaillés, variant parfois en fonction de la place du problème dans la progression, et de commentaires, fruits de nos expérimentations, dans le but de faciliter son utilisation. Ces commentaires signalent les écueils rencontrés par les élèves et donnent des pistes pour les débloquer en exerçant une réticence didactique[1]. Ils proposent également, dans certains cas, des modulations de l’énoncé ou des prolongements possibles qui permettent une adaptation au niveau des élèves.

Nous proposons également un mode de fonctionnement qui permet de donner une place particulière à l’écrit des élèves, celui-ci permettant d’avoir accès à leurs représentations, et reflétant une partie de leur activité (cf document ci-dessous « pourquoi et comment faire écrire les élèves»).

 


Comme précisé dès le début, les situations sont rarement originales, mais la façon de les travailler ne correspond pas à ce qui est proposé dans les livres, et nous espérons que le travail que nous exposons vous permettra d’entrer dans cette démarche sans trop de crainte.


[1] Le professeur sait des choses que l’élève ne sait pas. Parmi celles-ci, il y en a que l’élève doit finir par savoir (qu’il doit s’approprier) pour apprendre. Cependant, le professeur ne peut pas dire directement ces choses à l’élève, parce que l’interaction didactique suppose que l’élève fasse sien ce qu’il apprend, non par la seule écoute, mais par l’étude et la confrontation réelle aux milieux d’apprentissage. Le professeur est donc en permanence soumis à la tension (tentation) de dire directement à l’élève ce que celui-ci devrait savoir, tout en sachant que le déclaratif échouera souvent à l’appropriation réelle de la connaissance par les élèves. Le professeur est donc contraint à se taire là où il aurait la (fausse) possibilité de parler, il est donc contraint à tenir par-devers lui certaines des choses qu’il veut enseigner, et à engager les élèves dans des rapports aux milieux qui leur permettront de passer outre ce silence. Ce phénomène, nous le nommons réticence didactique.


Notre blog : https://mathouvert.wordpress.com/

Travaux

Voici une liste des différents problèmes que nous avons testés.

Pour chaque problème nous élaborons :

  • une fiche  pour le professeur donnant les prérequis, les buts, une indication du temps nécessaire pour mener à bien l’activité, l’insertion dans une progression, et présentant une série de difficultés rencontrées par les élèves et des pistes pour les « débloquer » sans les diriger.
  • un texte retraçant le déroulement des séances consacrées au problème lors d’une des expérimentations.

Certaines fiches sont encore en cours de rédaction.

Il est important pour comprendre la manière dont nous menons les problèmes en classe de lire au préalable le texte ci-dessus :  « Pourquoi et comment faire écrire les élèves ».

TROISIEME

Notion principale

Problèmes de recherche

Autres notions en jeu

Etude de fonctions (linéaire, affine, constante)

Déménagement à bon prix

Comparaison de prix en fonction du nombre de km parcourus

Système d’équations

 

Livraison de John

Résolution par essais/erreurs jusqu’à méthodes performantes : substitution et combinaison

Arithmétique

Problème plaquiste

Compréhension PGCD + calcul

Probabilité

Ticket gagnant

Pari sur lancé de 2 dés

 

Résolution équation

Problème d’aires égales (cours de récréation)

Mise en équation et résolution

Calcul d’aires

Ecritures algébriques développements, factorisations

Problèmes de recherche

Démontrer des observations ou curiosités sur des nombres



 

SECONDE

Notion principale

Problèmes de recherche

Autres notions en jeu

Notion de fonction : différents registres (langue naturelle, algébrique, graphique, tableau), image, antécédent, courbe

  • La statue de la liberté
  • Le bonhomme
  • La ficelle
  • Problème de la boîte de plus grand volume
  • La famille de points

 

Volume, volume maximum, maximum d’une fonction (non nécessaire), conjecture et preuve

Fonction : extremum d’une fonction

  • Boîte de conserve
  • Le bonhomme
  • Problème de la fourmi paresseuse
  • Problème de la boîte de plus grand volume
  • La ficelle
  • Le triangle

 

Dichotomie et algorithme

Fonction : variation sans la définition

  • Variation d’un chemin ou d’une aire (en fonction d’une longueur)
  • Les problèmes précédents peuvent être réutilisés ici

 

 

Fonction : résolution graphique d’équation et d’inéquation avec vocabulaire adapté :

  • Problème du sablier
  • Problème de la boîte de plus grand volume

 

 

Notion de nombres

  • Chercher un nombre décimal qui multiplié par 7 est égal à 3. 
  • Chercher un nombre décimal qui élevé au carré est égal à 2.
  • Chercher un nombre décimal qui élevé au cube est égal à deux

 

 

Géométrie dans l’espace : représenter dans l’espace, calculer

  • Spaghetti dans la boîte (calcul de longueur)

 

  • Problème de la fourmi paresseuse (patron)

 

  • Problème du solide dans le pavé

Fonction : déterminer un minimum

Statistiques : regroupement par classe

Etude des populations des communes du Bas-Rhin et du Haut-Rhin

 

Probabilité : des statistiques au probabilité

Problème des biberons ou des boîtes de légo

 

Calcul de fréquence

 

PREMIERE

Notion principale

Problèmes de recherche

Autres notions en jeu

Fonctions du second degré

. La ficelle (extremum , forme canonique)

. Le triangle dans le rectangle (résolution équation)

. Les 2 rectangles ( rappels sur le 2nd degré.)

Aire, périmètre

fonction racine carrée de u

 

Dessous de plat (inspiré de math’x 1ère S-2011- TP7 page 61)

 

Equation de droite

Méli-mélo sur les droites

Coefficient directeur, vecteurs, colinéarité de vecteurs, équation cartésienne de droite

Décomposition d’un vecteur suivant une base

Décomposition d’un vecteur suivant une base

 

Nombre dérivé

Piste de Skate-board

 

Suite

  • Les  entreprises
  • Les légos

Utilisation du tableur

Suite géométrique, arithmétique

Moyenne et écart-type-médiane et quartiles

Les forfaits téléphoniques

 



TERMINALE

Notion principale

Problèmes de recherche

Autres notions en jeu

Fonction partie entière

Pâte de fruit

 

Géométrie dans l’espace

  • Où est-il ?
  • Section

 

 

Contact

Cathy BURCK (cathybk@[ENLEVER]gmail.com )