Description

L’optimisation consiste en la recherche du minimum (ou du maximum) d’une certaine quantité appelée
coût ou critère. Ce cours propose des outils permettant de traiter des problèmes d’optimisation (notamment appliqués à l’économie) avec un coût qui sera une fonction non-linéaire.

Contenu -  Nous étudierons les problèmes classiques de l’optimisation non-linéaire en dimension finie :
— question d’existence et d’unicité des solutions au problème d’optimisation
— obtention de conditions d’optimalité afin de caractériser ces solutions (pour des problèmes d’optimisation
avec et sans contraintes)
— introduction à la programmation dynamique, dans laquelle on couple problème d’optimisation et
système dynamique.

Outils mathématiques - Nous aborderons ces problèmes au moyen d’outils et de techniques usuels :
— notion de convexité
— théorème des multiplicateurs de Lagrange
— théorème de Kuhn et Tucker
— principe du maximum de Pontryagin
— algorithmes de base d’optimisation.

Compétences visées

A l’issue de cet enseignement, vous saurez donc :

• résoudre des problèmes d’optimisation en dimension finie (savoir s’il existe des solutions et dans le cas échéant, les caractériser);
• résoudre quelques problèmes simples de programmation dynamique.

Disciplines

• Mathématiques

Syllabus

Le cours comprend 3 parties :

Partie A sur les rappels

1. rappels d'espaces vectoriels normés (produit scalaire, notion d'ouverts/fermés/de convexes),
2. rappels d'analyse matricielle (éléments propres, normes subordonnées de matrices),
3. rappels de calcul différentiel (gradient, matrice hessienne, formules de Taylor Young et Taylor Lagrange),
4. rappels sur les fonctions convexes (et notion d'alpha-convexité).

Partie B sur l'optimisation avec et sans contrainte(s)

1. existence et unicité d'un point de minimum (dans le cas d'une fonction C^1, coercive ou alpha-convexe),
2. caractérisation du (ou des) point(s) de minimum au moyen des conditions d'optimalité (inégalité d'Euler sur un convexe, équation d'Euler sur un ouvert, théorème des multiplicateurs de Lagrange pour des contraintes égalité, théorème de Kuhn et Tucker pour des contraintes inégalité),
3. introduction aux méthodes numériques.

Partie C sur l'optimisation dynamique

1. optimisation dynamique en temps discret (avec l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman),
2. optimisation dynamique en temps continu (avec le principe du maximum de Pontryagin).

Bibliographie

Pour des suppléments de cours, on pourra s’appuyer sur les ouvrages suivants :

• Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation, P.A. Ciarlet, Dunod,
• Introduction à l’optimisation et au calcul semi-différentiel, M. Delfour, Dunod,
• Analyse numérique et optimisation, G. Allaire, Les éditions de l’École Polytechnique (essentiellement
  les chapitres Introduction à l’optimisation et Conditions d’optimalité et algorithmes),
• Introduction à l’optimisation - 2e édition, J.-C. Culioli, Ellipses (essentiellement les chapitres Optimisation sous contraintes, Principe du Maximum de Pontryagin et Programmation Dynamique).