Description

Cette matière a pour objectif d'introduire les problèmes de calcul avec les nombres réels. Après avoir donné une définition des réels grâce aux développements décimaux, les grandes propriétés de la droite réelle sont démontrées (bornes supérieures, complétude). Les suites de réels, et la notion associée de convergence (=de Cauchy), sont introduites pour quantifier l'erreur d'approximation du réel obtenu comme la limite. L'objectif principal est la construction de suites permettant d'approximer des réels obtenus par l'évaluation de fonctions usuelles.

Ce contexte servira également de prétexte pour revenir à l'introduction historique des machines de Turing (calculabilité des nombres réels), notamment en exhibant l'analogie formelle entre le théorème de l'arrêt des machines de Turing, le procédé diagonal de Cantor et le « paradoxe » de Russell en théorie des ensembles. Le but est d'introduire la notion de complexité calculatoire et de l'étudier sur des exemples concrets en comparant (empiriquement ou théoriquement) plusieurs algorithmes effectuant la même tâche.

Compétences visées

• Comprendre l'ordre sur R, sa structure arithmétique et les contraintes (théoriques et pratiques) liées à la représentation décimale des nombres

• Déterminer des inf, sup, min et max de parties de R

• Manipuler des inégalités entre réels, et notamment l'inégalité triangulaire

• Prévoir et quantifier les pertes de précisions dans des calculs numériques

• Proposer et étudier des suites (notamment itératives ou issues de la formule de Taylor) convergeant vers des valeurs de fonctions élémentaires

• Déterminer des certificats de convergence et s'en servir pour garantir la précision d'approximations

• Utiliser le calcul des variations des fonctions usuelles pour garantir l'existence de réciproques, de points d'annulation, ou déterminer la valeur explicite de certaines constantes (permettant notamment de quantifier la précision des calculs approchés)

Disciplines

• Mathématiques

Syllabus

• Théorie: décimaux, rationnels, nombres algébriques, nombres réels, opérations, borne sup / inf, suites et convergence, ordres de grandeur (o, O, ∼ ), fonctions continues et dérivables, formule de Taylor-Lagrange

• Pratique: utilisation de bibliothèques Python de calcul symbolique (sympy) et numérique à mantisse fixe (numpy) ou arbitraire (mpmaths) pour manipuler des nombres et approximer des valeurs de fonctions

Contacts

Responsable(s) de l'enseignement

• Loïc Jean Dit Teyssier