Description

Ce cours est centré sur l'algèbre bilinéaire et ses applications en géométrie euclidienne.

Syllabus

Dualité : dual d’un espace vectoriel, d’un homorphisme ; liens avec les hyperplans ; base duale d’une base, base antéduale ; isomorphisme d’un espace vectoriel avec son bidual en dimension finie.

Forme bilinéaire symétrique, forme quadratique associée. Matrice d’une forme quadratique dans une base. Equivalences entre formes quadratiques. Noyau, rang d’une forme bilinéaire symétrique. Existence de bases orthogonales ; décomposition d’une forme bilinéaire symétrique en somme de carrés de formes
linéaires. Traduction matricielle. Algorithme de Gauss. Classification des formes bilinéaires symétriques sur R, sur C (théorème d’inertie de Sylvester). Mineurs d’une matrice définie positive.

Espaces euclidiens, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme et distance associées. Angles, orthogonalité. Projection orthogonale sur un sous-espace. Bases orthonormales, procédé de Gram-Schmidt. Matrices définies positives, décomposition polaire.

Groupe orthogonal, classification des isométries de l’espace euclidien en dimensions 2,3, en
dimension n.

Endomorphismes symétriques de l’espace euclidien, diagonalisabilité des matrices symétriques réelles en base orthonormée.

Espaces hermitiens. Matrices hermitiennes définies positives. Groupe unitaire.
Matrices normales, leur diagonalisabilité en base unitaire.

Classifications des coniques et quadriques.