Description

Cet enseignement vise à donner aux étudiants une introduction à l’algèbre et à la manipulation de structures algébriques en étudiant de manière détaillé l’exemple de l’algèbre linéaire.

Compétences visées

A la fin du cours, l’étudiant devra savoir en particulier :

• démontrer qu’un ensemble est un (sous)-espace vectoriel (e.v.),

• montrer que des espaces sont en sommes directes,

• étudier les propriétés d’une famille de vecteurs (libre / génératrice, base d’un e.v., rang, description par une système d’équations),

• trouver la dimension et base(s) d’un sous-espace vectoriel

• compléter une famille de vecteurs en une base ou extraire une base d’une famille de vecteurs,

• décomposer un vecteur dans une base donnée (directement ou en utilisant une matrice de passage),

• démontrer qu’une application est linéaire,

• manipuler les applications linéaires et trouver leur noyau, image, rang,

• faire le lien entre image/noyau et injectivité/surjectivité/bijectivité (cas particulier des applications linéaires en dimension finie, savoir utiliser le théorème du rang),

• trouver les éléments caractéristiques des projections / symétries,

• faire le lien entre matrices, applications linéaires et bases (en particulier savoir écrire la matrice d’une application dans des bases données, passer de l’écriture dans une base à une autre …)

• définir et utiliser la notion de matrices équivalentes et semblables.

Syllabus

• • Espaces vectoriels. Applications linéaires. Lien avec matrices. Changement de base.

  • Espaces vectoriels sur un corps (exemples K = Q, R, C). Exemples : K^n, K[X], espaces de suites, de fonctions.

  • Sous-espaces vectoriels ; somme, intersection, sommes directes, supplémentaires.

  • Dimension : familles génératrices, libres, espaces vectoriels de dimension finie, théorème de la base incomplète, dimension d'un espace vectoriel, d'un sous-espace vectoriel.

  • Applications linéaires : somme, composition. Exemples : formes linéaires, endomorphismes, symétries, projecteurs. Noyau, image. Rang d'une application linéaire. Théorème du rang.

  • Matrice d'une application linéaire dans une base. Matrices de passage. Matrices équivalentes et semblables.

Bibliographie

Liret et Martinais - Algèbre 1e année - Dunod – 2003.

Contacts

Responsable(s) de l'enseignement

• Lea Bittmann

MCC

Les épreuves indiquées respectent et appliquent le règlement de votre formation, disponible dans l'onglet Documents de la description de la formation.

Régime d'évaluation

ECI (Évaluation continue intégrale)

Coefficient

6.0

Évaluation initiale / Session principale - Épreuves