Analyse S2: Suites et continuité
Licence MathématiquesParcours Mathématiques appliquées (MA)
Description
Cet enseignement vise à donner les bases rigoureuses à l’analyse en revenant sur les propriétés de R, des limites, et les études de fonctions.
Compétences visées
A la fin du cours, l’étudiant devra en particulier savoir :
déterminer et manipuler les bornes supérieures/inférieures d’une partie de R
manipuler et établir des inégalités (en utilisant par exemple l’inégalité triangulaire)
manipuler toutes les définitions quantifiées (celles faisant intervenir des epsilons) des notions introduites (bornes sup, limites de suites/fonctions, etc)
étudier la convergence/divergence d’une suite réelle et manipuler les différents critères de convergence
étudier la limite d’une fonction en un point et/ou l’infini
étudier la continuité d’une fonction en un point ou sur un intervalle
utiliser les théorèmes portant sur les fonctions continues sur un intervalle
utiliser les notations de Landan pour faciliter l’étude de la convergence de suites/fonctions.
Syllabus
1. Propriétés de R ( Nombres rationnels et Nombre réels, Relation d’ordre et inégalités, Valeur absolue, Propriété d’Archimède, Partie entière et approximation décimale et densité de Q dans R, Bornes supérieures et inférieures)
2. Convergence de suites (définitions, théorèmes opératoires, suites monotones, suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites itératives un+1 = f(un))
3. Limites de fonctions et continuité (limite de fonctions, opérations sur les limites, critères de convergence, continuité, TVI, théorème des bornes, théorème de la bijection monotone…)
4. Analyse asymptotique (notations de Landau o (· · ·), O (· · ·) et équivalence) propriétés et pratique calculatoire , croissances comparées : échelles des logarithmes, des puissances et des exponentielles )
Bibliographie
On pourra consulter : http://exo7.emath.fr/cours/livre-analyse-1.pdf