Description

Ce cours introduit les grands acteurs de l'algèbre : polynômes, matrices, arithmétique, etc.

Compétences visées

Objectifs : savoir-faire et compétences :

Apprentissage des raisonnements et des techniques de démonstration élémentaires.
Maitrise de l'arithmétique é lémentaire dans des anneaux différents de Z. Préparation à l'introductiondes espaces vectoriels.

Syllabus

Logique élémentaire. Récurrence. Ensembles et opérations (union, intersection, complémentaire…). Applications : image directe, image réciproque, injections, surjections et bijections. Dénombrement, coefficients binomiaux. Relations binaires, relations d’ordre, relations d’équivalence.

Nombres complexes, exponentielle complexe (admise), application aux racines de l'unité, racines complexes d’un polynôme du second degré. Liens avec la géométrie.

Arithmétique dans Z : division euclidienne, diviseurs communs à deux entiers, pgcd, ppcm, lemme de Gauss, théorème de Bézout, algorithme d'Euclide ; nombres premiers, existence et unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers. Congruences, additions et multiplications. Petit théorème de Fermat. Nombres rationnels, fractions irréductibles.

Polynômes, division, pgcd, ppcm, dérivée. Théorème fondamental de l’algèbre (admis). Relations entre coefficients et racines, divisibilité par X-a, recherche de racines rationnelles, de racines communes. Décomposition en facteurs irréductibles d'un polynôme à coefficients réels ou complexes. Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples.

Algèbre linéaire : matrices, systèmes linéaires, pivot de Gauss ; calcul de l’inverse d’une matrice inversible ; exemples de matrices : symétriques, antisymétriques, triangulaires, diagonales.

Définitions de groupe, anneau, corps, exemples de base : Z, Q, R, C, M(n,K), K[X]...L’anneau Z/(nZ). Sous-groupes, groupes cycliques, ordre d’un élément dans un groupe, théorème de Lagrange.