Description

Ce cours étudie l’intégration en dimension finie, abordant le calcul de volumes et d’intégrales multiples sur des compacts de Rn, avec des outils comme le théorème de Fubini et les changements de variables. Il inclut des applications pratiques, telles que le calcul d’aires, de volumes et de centres de gravité. Les formes différentielles fermées et exactes dans le plan sont également explorées, avec une introduction aux 1-formes et 2-formes, au problème de Poincaré et au théorème de Green-Riemann, fondant une compréhension géométrique et algébrique des intégrales.

Disciplines

• Mathématiques

Syllabus

— Volume des compacts de Rn (par exemple, par exhaustion d’un ouvert borné par des pavés réguliers)

— Intégrales multiples sur des compacts de Rn

• définition de l’intégrale d’une fonction réelle continue sur un compact (par exemple, comme la somme algébrique des volumes bordés par le graphe)

• changements de variables, théorème de Fubini (admis)

• calculs d’aires dans R2, de volumes dans R3 et de centres de gravité

— Formes différentielles fermées et exactes dans le plan

• rappel : différentielle d’une fonction bivariée ; énoncé du problème de Poincaré

• 1-formes et 2-formes différentielles dans R2 : règles calculatoires [structure algébro-différentielle]

• 1-formes différentielles exactes et fermées : intégrale d’une 1-forme le long d’un segment, solution du problème de Poincaré sur un ouvert étoilé

• théorème de Green-Riemann (Stokes planaire) : énoncé général, preuve pour les domaines ayant un bord polygonal