Description

Ce cours explore les concepts fondamentaux de l’algèbre linéaire autour des polynômes, des matrices et des endomorphismes. Les étudiants apprendront à manipuler les polynômes (division, pgcd, décomposition en facteurs irréductibles, etc.) et à réduire les matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford etc). Le programme inclut des applications variées, telles que les suites récurrentes, les équations différentielles linéaires et l’analyse des champs de vecteurs.

Disciplines

• Mathématiques

Syllabus

• Polynômes : définition, somme, produit, division euclidienne, pgcd, ppcm, relation de Bézout.

• Relations coefficients-racines. Théorème de d’Alembert-Gauss

• Décomposition en facteurs irréductibles d’un polynôme à coefficients réels ou complexes.

• Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples.

• Déterminants : Groupe symétrique, signature.

• Déterminants des matrices. Comatrice, inverse d’une matrice.

• Réduction des matrices et des endomorphismes: valeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation. Polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton.

• Endomorphismes nilpotents.

• Décomposition de Dunford.

• Application : suites définies par une récurrence linéaire.

• Application : équations différentielles d’ordre 1 à coefficients constants ; équations différentielles (d’ordre 2) ; convertir une équation d’ordre 2 en une équation d’ordre 1 ; utilisation de la réduction (diagonalisation et trigonalisation en dimension 2) pour se ramener à des équations scalaires ; étude qualitative (dessins) des champs de vecteurs (sans introduire la terminologie).

MCC

Les épreuves indiquées respectent et appliquent le règlement de votre formation, disponible dans l'onglet Documents de la description de la formation.

Régime d'évaluation

ECI (Évaluation continue intégrale)

Coefficient

3.0

Évaluation initiale / Session principale - Épreuves