Description

Ce cours explore les concepts fondamentaux de l’algèbre bilinéaire, incluant les produits scalaires, les bases orthonormales, les projections et les transformations orthogonales. Il aborde également le théorème spectral et les notions de dualité, ainsi que l’étude approfondie des formes bilinéaires et quadratiques, avec une classification détaillée sur les corps R et C. L'accent est mis sur les outils théoriques et pratiques pour la représentation matricielle et la réduction des applications linéaires.

Compétences visées

Disciplines

• Mathématiques

Syllabus

1. Produit scalaire

• Définition et exemples

• Reconnaître un produit scalaire en dimension finie

• Représentation matricielle

2. Bases orthonormales

• Normes et normes euclidiennes

• Familles orthogonales de vecteurs

• Bases orthogonales et orthonormées

• Démonstration du théorème d’orthonormalisation

3. Projection orthogonale

• Projecteurs et projections

• Sous-espaces orthogonaux

• Projection orthogonale

• Distance à un sous-espace vectoriel

4. Le groupe orthogonal

• Transformations orthogonales

• Symétries orthogonales

• Le groupe orthogonal de R2

• Le groupe orthogonal de R3

• Réduction des endomorphismes orthogonaux

5. Théorème spectral

• Endomorphismes adjoints

• Endomorphismes autoadjoints

• Deux versions du théorème spectral

6. Dualité

• Définitions

• Bases duales

• Bidual

• Application transposée

• Espaces annulateurs

7. Formes bilinéaires et dualité

• Définition et rappels

• L’application jϕ [l’application V → V * déduite d’une forme bilinéaire sur V)

• Rang et noyau d’une forme bilinéaire

8. Formes quadratiques

• Définition

• Formes quadratiques en dimension finie

• Rang et noyau d’une forme quadratique, cône isotrope

• Orthogonalité

• Sous-espaces orthogonaux

9. Classification des formes quadratiques sur R et sur C

• Algorithme de Gauß

• Bases orthogonales

• Classification sur C

• Classification sur R

• Terminologie matricielle