Description

Ce cours explore les notions de convergence des suites et séries de fonctions réelles ou complexes, en lien avec la continuité, la dérivabilité et l’intégration. Il couvre les séries entières, leur rayon de convergence, et leur rôle dans la construction de fonctions analytiques, telles que l'exponentielle complexe. Les séries trigonométriques et de Fourier sont étudiées, avec des théorèmes clés comme ceux de Dirichlet et de Parseval, ainsi que des applications aux équations différentielles.

Disciplines

• Mathématiques

Syllabus

— Suites et séries de fonctions à valeurs réelles et complexes

• convergences simple et uniforme, absolue et normale pour les séries

• continuité, dérivabilité et intégration

— Séries entières

• rayon de convergence

• analyticité réelle, le cas des fonctions usuelles

• limites au bord (théorème de la limite radiale d’Abel)

• construction de l’exponentielle complexe (et des fonctions trigonométriques réelles)

• exemples d’exponentielles de matrices, application aux systèmes linéaires différentiels à coefficients constants

• exemples de solutions d’équations différentielles sous forme de séries entières

— Séries trigonométriques et de Fourier

• exemples de sommation de séries trigonométriques, théorème de Cantor (unicité des coefficients d’une série trigonométrique convergente, admis)

• fonctions C1 par morceaux régularisées

• lemme de Riemann-Lebesgue, théorèmes de Dirichlet (C1 par morceaux) ou de Fejér (continue), et de Parseval ; interprétation hilbertienne

• exemples de solutions d’équations différentielles sous forme de séries de Fourier