Description

Ce cours explore les concepts fondamentaux de l’algèbre linéaire autour des polynômes, des matrices et des endomorphismes. Les étudiants apprendront à manipuler les polynômes (division, pgcd, décomposition en facteurs irréductibles, etc.) et à réduire les matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford etc). Le programme inclut des applications variées, telles que les suites récurrentes, les équations différentielles linéaires et l’analyse des champs de vecteurs.

Disciplines

• Mathématiques

Syllabus

• Polynômes : définition, somme, produit, division euclidienne, pgcd, ppcm, relation de Bézout.

• Relations coefficients-racines. Théorème de d’Alembert-Gauss

• Décomposition en facteurs irréductibles d’un polynôme à coefficients réels ou complexes.

• Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples.

• Déterminants : Groupe symétrique, signature.

• Déterminants des matrices. Comatrice, inverse d’une matrice.

• Réduction des matrices et des endomorphismes: valeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation. Polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton.

• Endomorphismes nilpotents.

• Décomposition de Dunford.

• Application : suites définies par une récurrence linéaire.

• Application : équations différentielles (d’ordre 2); champs de vecteurs [ne pas introduire la terminologie] linéaires du plan [application de la diag et de la trig en dim. 2 ; utilisation de la réduction, faire un peu d’équa diff. D’ordre 1 à coef. Constant ; faire les dessins et l’étude qualitatives ! Convertir une équation d’ordre 2 en une équation d’ordre 1]