Description

Ce cours introduit au calcul matriciel et l'arithmétique des entiers.

Compétences visées

Maîtriser le calcul matriciel élémentaire: somme, produit interne et externe.

Inverser une matrice en utilisant la méthode la plus appropriée.

Résoudre un système d’équation linéaire en utilisant la méthode la plus appropriée.

Discuter le nombre de solutions d’un système linéaire d’équation dépendant d’un ou plusieurs paramètres.

Maîtriser la réduction de Gauss-Jordan et ses applications.

Maîtriser le calcul des déterminants de matrices en choisissant la méthode la plus appropriée.

Mener des raisonnements s’appuyant sur des calculs algébriques littéraux dans l'algèbre des matrices.

Utiliser les propriétés des déterminants dans des raisonnements simples concernant l’inversibilité des matrices et de la résolution de systèmes linéaires.

Calculer des aires ou des volumes à l’aide de déterminant.

Effectuer une division euclidienne dans l’anneau des entiers relatifs.

Calculer des pgcd et des ppcm.

Résoudre des équations diophantiennes du type ax+by=c.

Résoudre des systèmes d’équations diophantiennes du type « problème chinois ».

Reproduire des raisonnements utilisant le théorème de Bézout.

Mener des raisonnements utilisant les propriétés de divisibilité des entiers

Etre capable de décomposer un entier de taille raisonnable en ses facteurs premiers.

Utiliser le langage des congruences modulaires, mener des calculs en utilisant ses propriétés.

Mener des raisonnements utilisant le calcul modulaire

Syllabus

1. Calcul matriciel et systèmes linéaires :

   1. Calcul matriciel : matrices échelonnées, pivot de Gauss, inversibilité.

   2. Résolution de systèmes linéaires.

   3. Déterminant.

2. Arithmétique dans Z :

   1. division euclidienne ; diviseurs communs à deux entiers, pgcd, ppcm ; lemme de Gauss ; théorème de Bézout ; algorithme d’Euclide de calcul de pgcd ;

   2. nombres premiers ; existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers ;

   3. congruences : additions et multiplications ; systèmes de congruences, théorème chinois ; petit théorème de Fermat

Bibliographie

Liret et Martinais - Algèbre 1e année - Dunod – 2003.

Contacts

Responsable(s) de l'enseignement

• Marc Wambst