Description

Construction de Stevin de R (développements décimaux illimités) en tant que corps ordonné. La droite achevée bar R. Manipulation d’inégalités et inégalité triangulaire (dans C). Bornes supérieures et inférieures.
- Suites réelles. Limite. Critères de convergence liés à l’ordre sur R. Exemples de parties denses de R. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
- Limites de fonctions définies sur un intervalle, continuité. Caractérisation séquentielle de la continuité, cas d’égalité de fonctions continues sur des parties denses. Les grands théorèmes : théorème des bornes, des valeurs intermédiaires, de la bijection monotone.
- Dérivabilité par taux d’accroissement. Dérivation des opérations arithmétiques, de la composition, de la réciproque. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis, applications : prolongement C^1 et Théorème de Darboux.
- DL et formule de Taylor-Lagrange.
- Continuité et dérivabilité des fonctions usuelles : construction rigoureuse des blocs transcendants et démonstration de leur dérivabilité (exp, cos et sin). Les grands théorèmes : une fonction usuelle est continue là où elle est définie, dérivable là où sa dérivée symbolique est également définie.
- Étude des suites récursives xn+1=f(xn) avec f usuelle.
 

Compétences visées

Résoudre de manière autonome des problèmes liés ou faisant appel aux formules de Taylor, au calcul intégral.

 

Modalités d'organisation et de suivi

UE obligatoire

Bibliographie

Loic Teyssier, Polycopié d’analyse réelle.
Liret et Martinais - Algèbre 1e année - Dunod – 2003