Analyse S2: Dérivation et intégration
Licence MathématiquesParcours Préparation au professorat du second degré en mathématiques (Capes)
Description
Ce cours établit les "grands théorèmes" de ce domaine (accroissements finis, existence de primitive, ...).
Compétences visées
A la fin de cet enseignement, l’étudiant devra connaître parfaitement les définitions de chacunes des notions introduites et devra savoir utiliser tous les théorèmes d’analyse réelle énoncés dans les cours d’analyse S2, par exemple :
étudier la dérivabilité/convexité d’une fonction et appliquer ces notions afin d’étudier les variations d’une fonction, établir des inégalités, étudier des limites etc…
minorer, majorer, calculer des intégrales en choisissant à bon escient une des techniques vues en cours.
étudier des fonctions ou suites simples définies par des intégrales (monotonie, majoration, dérivabilité en se ramenant au théorème fondamental de l’analyse etc)
calculer des DL et les utiliser dans l’étude de fonctions (par exemple, recherche de limites, tangentes ou asymptotes…) et dans l’étude de suites (développements asymptotiques)
utiliser les formules de Taylor afin d’établir des inégalités ou des encadrements.
Syllabus
Dérivation et convexité (Rolle, Théorème des accroissements finis,, classes de fonctions, convexité, lien avec la dérivation, inégalités de convexité)
Intégration (construction de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux, propriétés, théorème fondamental de l’analyse, construction du logarithme et de l’exponentielle)
Formule de Taylor (Taylor Young, Lagrange et reste intégral) ; développements limités et ses applications.
Bibliographie
http://exo7.emath.fr/cours/livre-analyse-1.pdf