Description

Cet enseignement vise à donner aux étudiants une introduction à l’algèbre et à la manipulation de structures algébriques en étudiant de manière détaillé l’exemple de l’algèbre linéaire.

Compétences visées

A la fin du cours, l’étudiant devra savoir en particulier :

• démontrer qu’un ensemble est un (sous)-espace vectoriel (e.v.),

• montrer que des espaces sont en sommes directes,

• étudier les propriétés d’une famille de vecteurs (libre / génératrice, base d’un e.v., rang, description par une système d’équations),

• trouver la dimension et base(s) d’un sous-espace vectoriel

• compléter une famille de vecteurs en une base ou extraire une base d’une famille de vecteurs,

• décomposer un vecteur dans une base donnée (directement ou en utilisant une matrice de passage),

• démontrer qu’une application est linéaire,

• manipuler les applications linéaires et trouver leur noyau, image, rang,

• faire le lien entre image/noyau et injectivité/surjectivité/bijectivité (cas particulier des applications linéaires en dimension finie, savoir utiliser le théorème du rang),

• trouver les éléments caractéristiques des projections / symétries,

• faire le lien entre matrices, applications linéaires et bases (en particulier savoir écrire la matrice d’une application dans des bases données, passer de l’écriture dans une base à une autre …)

• définir et utiliser la notion de matrices équivalentes et semblables.

Syllabus

• • Espaces vectoriels. Applications linéaires. Lien avec matrices. Changement de base.

  • Espaces vectoriels sur un corps (exemples K = Q, R, C). Exemples : K^n, K[X], espaces de suites, de fonctions.

  • Sous-espaces vectoriels ; somme, intersection, sommes directes, supplémentaires.

  • Dimension : familles génératrices, libres, espaces vectoriels de dimension finie, théorème de la base incomplète, dimension d'un espace vectoriel, d'un sous-espace vectoriel.

  • Applications linéaires : somme, composition. Exemples : formes linéaires, endomorphismes, symétries, projecteurs. Noyau, image. Rang d'une application linéaire. Théorème du rang.

  • Matrice d'une application linéaire dans une base. Matrices de passage. Matrices équivalentes et semblables.

Bibliographie

Liret et Martinais - Algèbre 1e année - Dunod – 2003.

Contacts

Responsable(s) de l'enseignement

• Lea Bittmann