Description

Le but du cours est de présenter la démonstration du théorème de la progression arithmétique (TPA) de Dirichlet.

1. Il débute par des rappels sur les groupes abéliens finis, puis dualité et transformée de Fourier. Une attention particulière est portée aux groupes multiplicatifs d'anneaux Z/NZ, qui jouent un rôle dans la démonstration du TPA.
2. On étudie la fonction zêta sur la demi-droite {s|s>1} : comportement en 1, décomposition en produit eulérien (DPE) ; on en déduit l'infinité de l'ensemble des nombres premiers. La démonstration de la DPE nécessite l'explicitation dans le cas d'ensembles discrets munis de la mesure de comptage de résultats de la théorie de la mesure, qui est faite en détail.
3. On introduit les fonctions L associées aux caractères de Dirichlet, et établit leur DPE sur {s|s>1} par les mêmes méthodes ; on en conclut la réduction de la démonstration du TPA à celle de la non-nullité de L(1,chi) pour tout chi.
4. on montre comment obtenir une expression de L(1,chi) en utilisant le lemme d'Abel radial et le développement en série du logarithme complexe, ce qui permet du TPA dans des cas particuliers.
5. on introduit les outils de fonctions analytiques complexes nécessaires à la démonstration générale : holomorphie des séries de Dirichlet, abscisse de convergence, théorème sur l'abscisse de convergence d'une série de Dirichlet à termes positifs ou nuls, calcul et positivité des termes de la série de Dirichlet produit des L(1,chi), fin de la démonstration du TPA.

C'est la démonstration de Serre dans son Cours d'arithmétique. Une variante se trouve dans le livre de Ellison et Mendès France.

Contacts

Responsable(s) de l'enseignement

• Benjamin Enriquez

MCC

Les épreuves indiquées respectent et appliquent le règlement de votre formation, disponible dans l'onglet Documents de la description de la formation.

Régime d'évaluation

ECI (Évaluation continue intégrale)

Coefficient

2.0

Évaluation initiale / Session principale - Épreuves